Schlagwort: quadratische gleichung

Quadratische Bruchgleichungen (Übungsvideo)

Bei quadratischen Bruchgleichungen steht die gesuchte Variable \( x \) auch im Nenner. Deshalb gilt es zuest die Definitionsmenge zu bestimmen bevor die Gleichung gelöst werden kann:

  1. Nenner, wenn nötig, faktorisieren.
  2. \( \mathbb{D} \) sowie Hauptnenner (HN) bestimmen.
  3. Mit HN multiplizieren.
  4. Gleichung auflösen.
  5. Lösungen mit \( \mathbb{D} \) überprüfen.

      6. Aufgaben aus dem Video

      ① \( \mathbb{G} = \mathbb{R}: \quad \frac{2}{2x-8} – \frac{3}{4+x} = \frac{2}{x-4} \quad \) Lösung

      \( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{-4,4\} \quad \mathbb{L} = \{2\} \)

      ② \( \mathbb{G} = \mathbb{R}: \quad \frac{3x+9}{x^2+6x+9} + \frac{7}{x-3} = \frac{11x+8}{x^2-9} \quad \) Lösung

      \( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{-3,3\} \quad \mathbb{L} = \{4\} \)

Zweiklammeransatz für quadratische Gleichungen (Übungsvideo)

Neben der abc-Formel sowie der quadratischen Ergänzung kann mit Hilfe des Zweiklammeransatzes eine quadratische Gleichungen gelöst werden. Dies funktioniert aber nur, wenn die Faktoren gut aufgehen und keine Brüche ins Spiel kommen. Dann ist es zwar immer noch möglich, wird aber oft einiges mühsamer in der Umsetzung.

Aufgabe aus dem Video

① \( 3x^2 – x = 2 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{L} = \{-\frac{2}{3}, 1\} \)

Quadratische Ergänzung (Übungsvideo)

Neben der abc-Formel sowie dem Faktorisieren mit dem Zweiklammeransatz ist die quadratische Ergänzung eine gute Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Dabei gilt es zwei Grundsätze zu beachten:

  1. Für den Parameter \( a \) muss gelten: \( a = 1 \)
  2. Mit \( \left(\frac{b}{2}\right)^2 \) berechnet man den konstanten Faktor für die Binomische Formel.

In der Kategorie Videos sind weitere Übungsvideos zu diversen Themen zu finden.

Aufgaben aus dem Video

① \( \frac{1}{2}x^2 – 6x + 5\frac{1}{2} = 0 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{L} = \{1, 11\} \)

②  \( 2x + \frac{1}{x} = 3 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} \qquad \mathbb{L} = \{\frac{1}{2},1\} \)



Wurzelgleichung (Übungsvideo)

Wurzelgleichungen werden mit Hilfe des Quadrierens gelöst. Folgende Punkte sind dabei zu beachten:

  • \( \mathbb{D} \) korrekt bestimmen
  • Vorsicht beim Quadrieren (Binomische Formeln)
  • Probe: Am Schluss auf Scheinlösungen überprüfen.

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können sich Scheinlösungen ergeben, welche mit Hilfe der Probe in der Ursprungsgleichung getestet werden müssen.

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Aufgabe aus dem Video

➀ \( x + \sqrt{x+2} = 0 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \ge -2 \} \qquad \mathbb{L} = \{-1\} \)
2 ist eine Scheinlösung

Wurzelgleichung: zweimaliges Quadrieren (Übungsvideo)


Das Übungsvideo zeigt die Auflösung einer etwas komplizierteren Wurzelgleichung:
\[ \mathbb{G} = \mathbb{R} : \quad \sqrt{x-15} \, – \sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 0 \]
Hierbei muss zweimal quadriert werden, um alle Wurzelausdrücke aufzulösen und zur Lösungsmenge zu gelangen.

Dies ist das erste Übungsvideo, welches mit Hilfe der OneNote App erstellt wurde. Weitere Versuche folgen hoffentlich bald um diese Idee oder Umsetzung von #eDidaktik etwas auszuloten und die Möglichkeiten, die diese Art von Unterstützung bietet, besser kennenzulernen.

Aufgaben aus dem Video

➀ \( \sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = 5 \qquad \) Lösung


\( \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \ge 4 \} \qquad \mathbb{L} = \{ 8 \} \)

 

➁ \( \sqrt{5-x} \, – 1 = \sqrt{x+8} \qquad \) Lösung


\( \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, -8 \le x \le 5 \} \qquad \mathbb{L} = \{ -4 \} \)