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Lineare Bruchgleichung mit Parameter (Übungsvideo)

Wenn die gesuchte Variable im Nenner steht, sprechen wir oft von einer Bruchgleichung, denn in diesem Fall braucht es Einschränkungen, welche in der Definitionsmenge festgehalten werden. In diesem Video wird dies kombiniert mit einem Parameter, für welche allenfalls auch zusätzliche Nebenbedingungen festgehalten werden müssen.

  • Definitionsmenge \( \mathbb{D} \): Bezieht sich auf die gesuchte Variable (\(x\)).
  • Nebenbedingungen: Beziehen sich auf die Parameter (\(a, b, c,\) …).

Quadratische Bruchgleichungen (Übungsvideo)

Bei quadratischen Bruchgleichungen steht die gesuchte Variable \( x \) auch im Nenner. Deshalb gilt es zuest die Definitionsmenge zu bestimmen bevor die Gleichung gelöst werden kann:

  1. Nenner, wenn nötig, faktorisieren.
  2. \( \mathbb{D} \) sowie Hauptnenner (HN) bestimmen.
  3. Mit HN multiplizieren.
  4. Gleichung auflösen.
  5. Lösungen mit \( \mathbb{D} \) überprüfen.

      6. Aufgaben aus dem Video

      ① \( \mathbb{G} = \mathbb{R}: \quad \frac{2}{2x-8} – \frac{3}{4+x} = \frac{2}{x-4} \quad \) Lösung

      \( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{-4,4\} \quad \mathbb{L} = \{2\} \)

      ② \( \mathbb{G} = \mathbb{R}: \quad \frac{3x+9}{x^2+6x+9} + \frac{7}{x-3} = \frac{11x+8}{x^2-9} \quad \) Lösung

      \( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{-3,3\} \quad \mathbb{L} = \{4\} \)

Lineares Bruchgleichungssystem (Übungsvideo)

Lineare Bruchgleichungssysteme beinhalten Defintionsmengen für die gesuchten Variablen und sollten zuerst immer auf einen möglichen Einsatz des Additionsverfahrens überprüft werden. In diesem Video wir der Prozess Schritt für Schritt erläutert:

  1. Definitionsmenge aller gesuchten Variablen bestimmen
  2. Additionsverfahren überprüfen
  3. Gleichungssystem vereinfachen
  4. Lösung mit Definitionsmengen abgleichen.

Aufabe aus dem Video

\( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \\
\begin{eqnarray}
\frac{5}{4x-1} &=& \frac{3}{5y-8} \nonumber \\
\frac{2}{3x+5} &=& \frac{1}{2y-1} \nonumber
\end{eqnarray} \) Lösung

\( \quad \mathbb{D}_x = \mathbb{R} \setminus \{ -\tfrac{5}{3}, \tfrac{1}{4} \}, \mathbb{D}_y = \mathbb{R} \setminus \{ \tfrac{8}{5}, \tfrac{1}{2} \} \qquad \mathbb{L} = \{(-1; 1)\} \)

Wurzelgleichung (Übungsvideo)

Wurzelgleichungen werden mit Hilfe des Quadrierens gelöst. Folgende Punkte sind dabei zu beachten:

  • \( \mathbb{D} \) korrekt bestimmen
  • Vorsicht beim Quadrieren (Binomische Formeln)
  • Probe: Am Schluss auf Scheinlösungen überprüfen.

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können sich Scheinlösungen ergeben, welche mit Hilfe der Probe in der Ursprungsgleichung getestet werden müssen.

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Aufgabe aus dem Video

➀ \( x + \sqrt{x+2} = 0 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \ge -2 \} \qquad \mathbb{L} = \{-1\} \)
2 ist eine Scheinlösung