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Potenzgleichungen mit ganzzahligen Exponenten (Übungsvideo)

Für Potenzgleichungen mit ganzzahligen Exponenten gilt die vereinfachte Form \( x^n = a \) mit \( n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \). Dabei sind die folgenden wichtigen Grundregeln zu beachten:

  • Gerade Exponenten: Die Auflösung der Gleichung mit Hilfe von \( \sqrt[n]{a} \) ergibt entweder zwei Lösungen ( \( \pm \) ) oder keine Lösung.
  • Ungerade Exponenten: Hierbei gibt es immer genau eine Lösung.
  • Negative Exponenten: Dies müssen immer zuerst in positive Exponenten umgewandelt werden (in den Nenner nehmen) und daraus muss die korrekte Definitionsmenge \( \mathbb{D} \) abgeleitet werden.

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( 2(x+1)^5 = 6250 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{L} = \{4\} \)

➁ \( 6(x+3)^{-8} = 1536 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \qquad \mathbb{L} = \{-3.5,-2.5\} \)

Logarithmusgesetze – Grundlagen Termumformungen (Übungsvideo)

Um den Logarithmus anwenden zu können, kommen die drei grundlegenden Logarithmusgesetze zum Einsatz. Dieses Video zeigt einfache Termumformungen mit Hilfe der Logarithmusgesetze.

\[ \log_a(x\cdot y) = \log_a(x)+\log_a(y) \] \[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y) \] \[ \log_a\left(x^b\right) = b\cdot \log_a(x) \]

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( \log_a\left(\frac{1}{xy}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\frac{1}{xy}\right) = \log_a(1)-\log_a(xy) = \\
\quad\quad = 0-(\log_a(x)+\log_a(y)) = -\log_a(x)-\log_a(y) \)

➁ \( \log_a\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) = \log_a\left(\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \\
\quad\quad = \frac{1}{2}\cdot\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}(\log_a(x)-\log_a(y)) \)

③ \( \log_a\left(\sqrt{x\sqrt{y}}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\sqrt{x\sqrt{y}}\right) = \log_a\left((x\sqrt{y})^\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\log_a(x\sqrt{y}) \\
\quad\quad = \frac{1}{2}\left(\log_a(x)+\log_a(y^\frac{1}{2})\right) = \frac{1}{2}\left(\log_a(x)+\frac{1}{2}\log_a(y)\right) \)

Termumformung mit Logarithmen (Übungsvideo)

Die Logarithmusgesetze sind nicht immer ganz intuitiv in der Umsetzung. In diesem Übungsvideo wird mit Hilfe der drei Gesetze ein Logarithmusterm Schritt für Schritt vereinfacht.

Der Term sieht folgendermassen aus:
\[ \log_a(42)-2\log_a(7)+\log_a(14)-\log_a(12) \]

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( \log_a(16)-2\log_a(4) \) Lösung

\( \quad \log_a(16)-2\log_a(4)=\log_a\left(\frac{16}{4^2}\right)=log_a(1)=0 \)
 

➁ \( \frac{\log_a(125)}{3}+2\log_a\left(\frac{1}{5}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(125^{\frac{1}{3}}\right)+\log_a\left(\frac{1}{5^2}\right)=\log_a\left(\frac{5}{5^2}\right)=\log_a\left(\frac{1}{5}\right) \)

Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen (Übungsvideo)

Exponentialgleichungen lassen sich entweder mit Hilfe des Exponentenvergleichs lösen (wenn dies möglich ist, ist es die einfachste Methode) oder ansonsten durch Einsatz des Logarithmus.

In diesem Übungsvideo wird eine Exponentialgleichung mit Hilfe des Logarithmus aufgelöst und die gesuchte Variable freigestellt.
\[ \mathbb{G} = \mathbb{R}: \qquad 2^{3x} = 2 \cdot 3^{x+1} \]

Die Berechnung der Logarithmen findet erst ganz am Schluss statt, damit keine Rundungsfehler in die Lösung miteinfliessen.

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Umkehrfunktionen (Übungsvideo)

Umkehrfunktionen können von verschiedenen Funktionen berechnet werden. In diesem Video wird die Technik zur Herleitung anhand einer linearen Funktion, einer Potenzfunktion, einer Exponentialfunktion sowie einer Logarithmusfunktion aufgezeigt.

Für Umkehrfunktionen gilt immer der folgende Sachverhalt:

  1. Potenzfunktion <-- Umkehrfunktion –> Wurzelfunktion
  2. Exponentialfunktion <-- Umkehrfunktion –> Logarithmusfunktion

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Termumformung mit Potenzen (Übungsvideo)

In diesem Übungsvideo geht es darum, einen Term mit Potenzen korrekt umzuformen und zu vereinfachen. Dabei müssen die Potenzgesetze korrekt angewendet werden.

Der Term sieht folgendermassen aus:
\[ \frac{m^3k\cdot mk^{-4}}{m^{-2}k^2\cdot (mk)^{-5}} \]

Dies ist das vierte Übungsvideo, welches mit Hilfe der OneNote App erstellt wurde.

Aufgaben aus dem Video

➀ \( \frac{(ab)^2\cdot a^{-2}b^2}{a^5\cdot (ab)^{-4}} \) Lösung

\( \hspace{1cm} \frac{b^8}{a} \)
 

➁ \( \frac{y(x^5y^3)\cdot xy^2 \cdot x^{-4}}{(xy^2)\cdot \frac{1}{y^{-5}}} \) Lösung

\( \hspace{1cm} \frac{x}{y} \)

Bruchtermumformung mit binomischen Formeln (Übungsvideo)

In diesem Video geht es um eine Bruchtermumformung, welche binomische Formeln enthält. Hierbei müssen Brüche gleichnamig gemacht , die Division von Brüchen in eine Multiplikation mit dem Kehrwert umgeformt und Brüche korrekt multipliziert werden.

Folgender Bruchterm wird dabei Schritt für Schritt vereinfacht:
\[ \left( \frac{2}{a-b}-\frac{2}{a+b} \right) : \frac{4a^2b-4b^3}{a^2+2ab+b^2} \]

Dies ist das dritte Übungsvideo, welches mit Hilfe der OneNote App erstellt wurde. Noch nicht alles läuft ganz rund, aber es wird immer besser werden.

Lineare Optimierung: Überbauung – lineares Programm (Übungsvideo)

Das Übungsvideo zeigt den Prozess, wie man von einer etwas anspruchsvolleren Textaufgabe das lineare Programm (das Ungleichungssystem) herleiten kann. Wichtig dabei ist, dass alle gegebenen Angaben in Ungleichungen oder der Zielfunktion verarbeitet werden und nichts vergessen geht.

Dies ist das zweite Übungsvideo, welches mit Hilfe der OneNote App erstellt wurde.

Wurzelgleichung: zweimaliges Quadrieren (Übungsvideo)

Das Übungsvideo zeigt die Auflösung einer etwas komplizierteren Wurzelgleichung:
\[ \mathbb{G} = \mathbb{R} : \quad \sqrt{x-15} \, – \sqrt{x+9} + \sqrt{x} = 0 \] Hierbei muss zweimal quadriert werden, um alle Wurzelausdrücke aufzulösen und zur Lösungsmenge zu gelangen.

Dies ist das erste Übungsvideo, welches mit Hilfe der OneNote App erstellt wurde. Weitere Versuche folgen hoffentlich bald um diese Idee oder Umsetzung von #eDidaktik etwas auszuloten und die Möglichkeiten, die diese Art von Unterstützung bietet, besser kennenzulernen.

Aufgaben aus dem Video

➀ \( \sqrt{x-4} + \sqrt{x+1} = 5 \qquad \) Lösung

\( \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \ge 4 \} \qquad \mathbb{L} = \{ 8 \} \)
 

➁ \( \sqrt{5-x} \, – 1 = \sqrt{x+8} \qquad \) Lösung

\( \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, -8 \le x \le 5 \} \qquad \mathbb{L} = \{ -4 \} \)