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Lineares Gleichungssystem – Verteilungsaufgabe (Übungsvideo)

In dieser Textaufgabe geht es um Anteile, Verhältnisse und Prozentwerte. Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten kann die Lösung berchnet werden. Zwei zentrale Merkpunkt sind:

  • Ein Verhältnis von zwei Werten wird als Division geschrieben und
  • Anteile, ob in Prozent oder als Bruch, müssen sich immer auf einen bestimmten Wert beziehen.

Lineares Bruchgleichungssystem (Übungsvideo)

Lineare Bruchgleichungssysteme beinhalten Defintionsmengen für die gesuchten Variablen und sollten zuerst immer auf einen möglichen Einsatz des Additionsverfahrens überprüft werden. In diesem Video wir der Prozess Schritt für Schritt erläutert:

  1. Definitionsmenge aller gesuchten Variablen bestimmen
  2. Additionsverfahren überprüfen
  3. Gleichungssystem vereinfachen
  4. Lösung mit Definitionsmengen abgleichen.

Aufabe aus dem Video

\( \mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \\
\begin{eqnarray}
\frac{5}{4x-1} &=& \frac{3}{5y-8} \nonumber \\
\frac{2}{3x+5} &=& \frac{1}{2y-1} \nonumber
\end{eqnarray} \) Lösung

\( \quad \mathbb{D}_x = \mathbb{R} \setminus \{ -\tfrac{5}{3}, \tfrac{1}{4} \}, \mathbb{D}_y = \mathbb{R} \setminus \{ \tfrac{8}{5}, \tfrac{1}{2} \} \qquad \mathbb{L} = \{(-1; 1)\} \)

Lineare Optimierung (3/3): Optimale Lösung ermitteln (Übungsvideo)

Im letzten Teil dieser Serie soll nun mit Hilfe der Zielfunktion das Optimum, in diesem Fall den Punkt für den maximalen Gewinn, bestimmt werden. Mit Hilfe einer grafischen Parallelverschiebung der Zielfunktion kann der äusserste Punkt des Planungspolygons eruiert und im Anschluss mit Hilfe einer Schnittpunktberechnung der Punkt auch berechnet werden.

1. Teil: Aufgabenstellung mathematisieren
2. Teil: Grafische Darstellung erstellen

Lineare Optimierung (2/3): Grafische Darstellung erstellen (Übungsvideo)

Nach dem ersten Teil, wo die gegebene Textaufgabe mathematisiert wurde, geht es nun darum, das Ungleichungsssytem in einem Koordinatensystem darzustellen. Die Ungleichungen werden dabei für eine einfachere Handhabung in lineare Funktionen umgewandelt. Danach werden die dazugehörigen Grenzgeraden eingezeichnet und zum Schluss das Planungspolygon erstellt.

1. Teil: Aufgabenstellung mathematisieren
3. Teil: Optimale Lösung ermitteln

Lineare Optimierung (1/3): Aufgabenstellung mathematisieren (Übungsvideo)

Einfachere lineare Optimierungsaufgaben können mit Hilfe einer grafischen Umsetzung gelöst werden. Im ersten Teil wird aus einer Textaufgabe das dazu passende Ungleichungssystem (Lineares Programm) hergeleitet, sowie die zu optimierende Zielfunktion erstellt.

2. Teil: Grafische Darstellung erstellen
3. Teil: Optimale Lösung ermitteln

Quadratische Ergänzung (Übungsvideo)

Neben der abc-Formel sowie dem Faktorisieren mit dem Zweiklammeransatz ist die quadratische Ergänzung eine gute Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Dabei gilt es zwei Grundsätze zu beachten:

  1. Für den Parameter \( a \) muss gelten: \( a = 1 \)
  2. Mit \( \left(\frac{b}{2}\right)^2 \) berechnet man den konstanten Faktor für die Binomische Formel.

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Aufgaben aus dem Video

① \( \frac{1}{2}x^2 – 6x + 5\frac{1}{2} = 0 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{L} = \{1, 11\} \)

②  \( 2x + \frac{1}{x} = 3 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\} \qquad \mathbb{L} = \{\frac{1}{2},1\} \)



Wurzelgleichung (Übungsvideo)

Wurzelgleichungen werden mit Hilfe des Quadrierens gelöst. Folgende Punkte sind dabei zu beachten:

  • \( \mathbb{D} \) korrekt bestimmen
  • Vorsicht beim Quadrieren (Binomische Formeln)
  • Probe: Am Schluss auf Scheinlösungen überprüfen.

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können sich Scheinlösungen ergeben, welche mit Hilfe der Probe in der Ursprungsgleichung getestet werden müssen.

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Aufgabe aus dem Video

➀ \( x + \sqrt{x+2} = 0 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x \ge -2 \} \qquad \mathbb{L} = \{-1\} \)
2 ist eine Scheinlösung

Doppelter Doppelbruch mit gleichnamig machen (Übungsvideo)


Doppelbrüche werden aufgelöst, in dem man den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. In diesem Beispiel wird ein verschachtelter Doppelbruch aufgelöst, in dem diese Technik gleich mehrfach zur Anwendung kommt. Zudem müssen auch Brüche auf den Hauptnenner erweitert werden, um sie zusammenführen und so den Doppelbruch schlussendlich auflösen zu können.

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Aufgabe aus dem Video

\( \frac{\frac{(x+2)^2}{x^2-4}}{\frac{1}{x-2}-\frac{4-x^2}{(x-2)^2}} \quad \) Lösung

\( \quad \frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{(x-2)^2}{(x-2)-(4-x^2)} = \frac{x+2}{x+3} \)

Doppelbruch durch Faktorisieren auflösen (Übungsvideo)


Bei Termumformungen werden Doppelbrüche aufgelöst, in dem man den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Der im Übungsvideo zu vereinfachende Doppelbruch beinhaltet ein paar Raffinessen, welche mit Hilfe verschiedener Faktorisierungsansätzen aufgelöst werden können.

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Aufgabe aus dem Video

\( \frac{\frac{4x^2-4x+1}{x^4-1}\cdot \frac{(2x-1)^2+8x}{1-4x^2}}{\frac{2x-1}{x^2-1}} \quad \) Lösung

\( \quad \frac{(2x-1)^2}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}\cdot \frac{(2x+1)^2}{(1-2x)(1+2x)}\cdot \frac{(x-1)(x+1)}{2x-1} = -\frac{2x+1}{x^2+1}\)

Faktorisieren mit dem Zweiklammeransatz (Übungsvideo)


Wenn Terme nicht mit Hilfe von ausklammern und den binomischen Formeln faktorisiert werden können, kommt der Zweiklammeransatz zum Einsatz. In diesem Übungsvideo wird das Vorgehen bei diesem Verfahren an Hand von zwei Beispielen im Detail erläutert.

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