Schlagwort: potenzgleichung

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten (Übungsvideo)

Potenzgleichungen mit rationalen Exponenten werden aufgelöst indem man mit dem Kehrwert des Exponenten potenziert. Zu beachten ist, da rationale Potenzen nur auf positiven Zahlen definiert sind ( \( x^{\frac{a}{b}} := \sqrt[b]{x^a}, \, x > 0 \) ), dass dabei die Definitionsmenge korrekt aufgestellt wird (siehe dazu die Übungen im Video).

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( 4x^{\frac{3}{2}} = 108 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R^+} \qquad \mathbb{L} = \{9\} \)

➁ \( (10 – x)^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{8} \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, x < 10 \} \qquad \mathbb{L} = \{-22\} \)

Potenzgleichungen mit ganzzahligen Exponenten (Übungsvideo)

Für Potenzgleichungen mit ganzzahligen Exponenten gilt die vereinfachte Form \( x^n = a \) mit \( n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \). Dabei sind die folgenden wichtigen Grundregeln zu beachten:

  • Gerade Exponenten: Die Auflösung der Gleichung mit Hilfe von \( \sqrt[n]{a} \) ergibt entweder zwei Lösungen ( \( \pm \) ) oder keine Lösung.
  • Ungerade Exponenten: Hierbei gibt es immer genau eine Lösung.
  • Negative Exponenten: Dies müssen immer zuerst in positive Exponenten umgewandelt werden (in den Nenner nehmen) und daraus muss die korrekte Definitionsmenge \( \mathbb{D} \) abgeleitet werden.

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( 2(x+1)^5 = 6250 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{L} = \{4\} \)

➁ \( 6(x+3)^{-8} = 1536 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \qquad \mathbb{L} = \{-3.5,-2.5\} \)