Schlagwort: logarithmus

Exponentialgleichung mit Potenzgesetzen lösen (Übungsvideo)

Exponentialgleichungen müssen mit Hilfe des Logarithmus gelöst werden. Es besteht jedoch die Möglichkeit, zuerst die Gleichung mit Hilfe von Potenzgesetzen zu vereinfachen und nur zum Schluss den Logarithmus anzuwenden. Dabei erspart man sich den Umgang mit den Logarithmusgesetzen, muss dafür die Potenzgesetze aber sicher anwenden können.

Aufgabe aus dem Video

① \( \mathbb{G} = \mathbb{R}: \quad \frac{5^x}{17} = 2^{2x-7} \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{L} = \{-9.047\} \)

Logarithmusgleichungen (Übungsvideo)


Logarithmusgleichungen können die gesuchte Variable im Numerus oder aber auch in der Basis des Logarithmus aufweisen. Dieses Übungsvideo zeigt beide Möglichkeiten auf. Das Vorgehen ist bei beiden Varianten jedoch dasselbe: Mit Hilfe von Vereinfachungen wird die Gleichung in die Exponentialdarstellung umgeschrieben um die gesuchte Variable bestimmen zu können.

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( \log_{10-x}(4’096)=4 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x\in\mathbb{R} \,\mid\, x<10 \wedge x\neq 11\} \qquad \mathbb{L} = \{2\} \)

➁ \( 2\cdot \log_3(x)-\log_3(30-x)=-1 \quad \) Lösung

\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, 0<x<30 \} \qquad \mathbb{L} = \{3\} \)

Logarithmusgesetze – Grundlagen Termumformungen (Übungsvideo)


Um den Logarithmus anwenden zu können, kommen die drei grundlegenden Logarithmusgesetze zum Einsatz. Dieses Video zeigt einfache Termumformungen mit Hilfe der Logarithmusgesetze.

\[ \log_a(x\cdot y) = \log_a(x)+\log_a(y) \]
\[ \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x)-\log_a(y) \]
\[ \log_a\left(x^b\right) = b\cdot \log_a(x) \]

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( \log_a\left(\frac{1}{xy}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\frac{1}{xy}\right) = \log_a(1)-\log_a(xy) = \\
\quad\quad = 0-(\log_a(x)+\log_a(y)) = -\log_a(x)-\log_a(y) \)

➁ \( \log_a\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\sqrt{\frac{x}{y}}\right) = \log_a\left(\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \\
\quad\quad = \frac{1}{2}\cdot\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{2}(\log_a(x)-\log_a(y)) \)

③ \( \log_a\left(\sqrt{x\sqrt{y}}\right) \) Lösung

\( \quad \log_a\left(\sqrt{x\sqrt{y}}\right) = \log_a\left((x\sqrt{y})^\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\log_a(x\sqrt{y}) \\
\quad\quad = \frac{1}{2}\left(\log_a(x)+\log_a(y^\frac{1}{2})\right) = \frac{1}{2}\left(\log_a(x)+\frac{1}{2}\log_a(y)\right) \)

Termumformung mit Logarithmen (Übungsvideo)


Die Logarithmusgesetze sind nicht immer ganz intuitiv in der Umsetzung. In diesem Übungsvideo wird mit Hilfe der drei Gesetze ein Logarithmusterm Schritt für Schritt vereinfacht.

Der Term sieht folgendermassen aus:
\[ \log_a(42)-2\log_a(7)+\log_a(14)-\log_a(12) \]

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Aufgaben aus dem Video

➀ \( \log_a(16)-2\log_a(4) \) Lösung


\( \quad \log_a(16)-2\log_a(4)=\log_a\left(\frac{16}{4^2}\right)=log_a(1)=0 \)

 

➁ \( \frac{\log_a(125)}{3}+2\log_a\left(\frac{1}{5}\right) \) Lösung


\( \quad \log_a\left(125^{\frac{1}{3}}\right)+\log_a\left(\frac{1}{5^2}\right)=\log_a\left(\frac{5}{5^2}\right)=\log_a\left(\frac{1}{5}\right) \)

Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen (Übungsvideo)


Exponentialgleichungen lassen sich entweder mit Hilfe des Exponentenvergleichs lösen (wenn dies möglich ist, ist es die einfachste Methode) oder ansonsten durch Einsatz des Logarithmus.

In diesem Übungsvideo wird eine Exponentialgleichung mit Hilfe des Logarithmus aufgelöst und die gesuchte Variable freigestellt.
\[ \mathbb{G} = \mathbb{R}: \qquad 2^{3x} = 2 \cdot 3^{x+1} \]

Die Berechnung der Logarithmen findet erst ganz am Schluss statt, damit keine Rundungsfehler in die Lösung miteinfliessen.

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